X
تبلیغات
فیزیک الکتریسیته و مغناطیس

فیزیک الکتریسیته و مغناطیس

قوانین و مطالب کاربردی الکتریسیته و مغناطیس

در فیزیک قانون گاوس با نام قضیه شار گاوس هم شناخته شده که قانونی است در ارتباط با توزیع بار الکتریکی که پیامد آن میدان الکتریکی است قانون گاوس توضیح میدهد که : شار الکتریکی خروجی از هر سطح محصور متناسب است با بار خالص داخل سطح این قانون توسط کارل فردریک گاوس در سال 1835 فرمولبندی شد ولی در سال 1867 منتشر گشت. این قانون یکی از چهار معادله ماکسول است که اساس الکترودینامیک کلاسیک را تشکیل می دهند، سه تای دیگر عبارت اند از:قانون گاوس برای مغناطیس، قانون القاء فارادی، و قانون آمپر به تصحیح ماکسول. از قانون گاوس می توان برای استخراج قانون کولن استفاده کرد و بالعکس. قانون گاوس معمولاً به فرم انتگرالی زیر بیان می شود:

\oint_S \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A}  = \frac{Q}{\varepsilon_0},

که در آن سمت چپ تساوی انتگرال سطحی است که نشر شار الکتریکی را از سطح بسته S بیان می کند، و سمت راست تساوی بار کل محصور شده در همان سطح S تقسیم بر ثابت الکتریکی است.

قانون گاوس همچنین فرم دیفرانسیلی به شکل زیر دارد:

\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}

که در آن E ·  دیورژانس میدان الکتریکی است و ρ چگالی بار است. فرم انتگرالی و دیفرانسیلی با قضیه دیورژانس به هم مرتبط می شوند. هر یک از این اشکال دیفرانسیلی و انتگرالی را می توان به دو فرم دیگر بیان کرد: از دید ارتباط بین میدان الکتریکی E و بار الکتریکی کل، یا از دید جابجایی میدان الکتریکی D و بار الکتریکی آزاد. قانون گاوس تشابه ریاضیاتی زیادی با تعدادی از قوانین فیزیک در سایر زمینه‌ها دارد، مثل قانون گاوس در مغناطیس و قانون گاوس در جاذبه. در واقع، هر " قانون مربع معکوس" را می توان به شکل مشابهی با قانون گاوس فرمولبندی کرد: برای مثال، خود قانون گاوس خود اساسا برابر با مربع معکوس قانون کولن است، و قانون گاوس برای جاذبه اساسا با مربع معکوس قانون جاذبه نیوتون برابر است.

از دیدگاه بار کل

فرم انتگرالی

برای حجم V با سطح S ، قانون گاوس بیان می‌کند که

\Phi_{E,S} = \frac{Q}{\varepsilon_0}

که ΦE,S شار الکتریکی در S است، Q بار کل در حجم V است، و ε0 ثابت الکتریکی است. شار الکتریکی از انتگرال گیری روی سطح S بدست می آید:

\oint_S \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A}

که E میدان الکتریکی است و  dA نشانگر برداری از المان بی نهایت کوچک سطح می‌باشد و ( . ) به عنوان ضرب داخلی برداری به کار می رود.

به کارگیری فرم انتگرالی

اگر میدان الکتریکی همه جا معلوم باشد، قانون گاوس کار را خیلی راحتتر می کند، در اصل، برای یافتن توزیع بار الکتریکی: باری را که در هر ناحیه داده شده می تواند با یکپارچگی میدان الکتریکی و یافتن شار استنباط کرد. با این حال، بیشتر اوقات، این مشکل معکوسی است که باید حل شود: یعنی توزیع بار الکتریکی معلوم است، و میدان الکتریکی باید محاسبه شود. این خیلی مشکل تر است، زمانی که شما شار کل عبوری از سطح را می دانید، که این تقریبا هیچ اطلاعاتی در مورد میدان الکتریکی نمی دهد، که خود می تواند از روی الگوی پیچیده ای خودسرانه وارد و خارج سطح شود.

فرم دیفرانسیلی

شکل دیفرانسیلی، قانون گاوس بیان می دارد که:

\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}

که · ∇نشان دهنده واگرایی یا همان دیورژانس، E میدان الکتریکی، و ρ چگالی بار کل است، و ε0 ثابت الکتریکی است. این معادله از لحاظ ریاضی بنا به قضیه دیورژانس با فرم انتگرالی معادل است.

هم ارزی فرم دیفرانسیلی و انتگرالی

فرم‌های دیفرانسیلی و انتگرالی از دیدگاه ریاضی معادل اند، از طریق قضیه دیورژانس. به بیان دقیق تر: فرم انتگرالی قانون گاوس به این صورت است که :

\oint_S \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = \frac{Q}{\varepsilon_0}

برای هر سطح بسته S که بار Q را در بر می گیرد. با قضیه دیورژانس، این معادله برابر است با:

\iiint\limits_V \nabla \cdot \mathbf{E} \ \mathrm{d}V = \frac{Q}{\varepsilon_0}

برای هر حجم V که بار Q را در بر می گیرد. با توجه به ارتباط بین بار الکتریکی و چگالی بار، این تساوی معادل است با:

\iiint\limits_V \nabla \cdot \mathbf{E} \ \mathrm{d}V = \iiint\limits_V \frac{\rho}{\varepsilon_0} \ \mathrm{d}V

برای هر حجم V . برای این که این معادله به طور همزمان برای هر حجم ممکن V برقرار باشد، این شرط لازم و کافی است که معادلات زیر انتگرال برابر باشند. بنابراین، این تساوی معادل است با

\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}.

پس معادلات دیفرانسیل و انتگرال معادل هستند.


از دیدگاه بار آزاد

بار آزاد در مقابل بار مقید

بار الکتریکی که در ساده‌ترین موقعیت‌های کتاب درسی بیان می‌شود در میان بار الکتریکی آزاد طبقه بندی می شود، برای مثال، باری که در الکترواستاتیک جابجا می شود، یا باری که روی صفحه‌های خازن ذخیره می شوند. در عوض بار مقید فقط در مورد چارچوب دی الکتریک بیان می‌شود و موادی که قابلیت قطبی شدن دارند.( تمام مواد تا حدی قابلیت قطبش دارند.) زمانی که موادی این چنین در یک میدان الکتریکی خارجی قرار می گیرند، الکترون‌ها در قید اتم‌های خود می مانند، اما در پاسخ به میدان الکتریکی یک تغییر فاصله میکروسکوپی با اتم خود می دهند، بنابر این الکترون‌های یک سمت بیشتر از سمت دیگر اتم می شود. همه این جابجایی‌های میکروسکوپیک جمع می شوند تا یک شبکه توزیع بار را تشکیل دهند، و این به منزله وجود بار مقید است. همه بارها از دیدگاه میکروسکوپیک اساسا یکسان هستند، اغلب دلایل عملی برای تمایز بین بار مقید و بار آزاد وجود دارد. یکی از دلایل اساس قانون گاوس است،که از لحاظE، در اکثر موارد در معادلات برای محاسبات و استفاده از D باید بار را به صورت بار آزاد در نظر بگیریم.

فرم انتگرالی

این فرمولبندی از قانون گاوس بیان می دارد که، برای هر حجمV در فضا، با سطح S ، رابطه زیر برقرار است:

\Phi_{D,S} = Q_{\mathrm{free}},\!

که ΦD,S شار جابجایی میدان الکتریکی D از سطح S ، و 'Qfree بار آزادی است که در حجم V قرار دارد. شار ΦD,S مشابه شار میدان الکتریکی ΦE,S که شار E از سطح S است تعریف شده. به ویژه که آن از انتگرال سطح بدست می آید

\Phi_{D,S} = \oint_S \mathbf{D} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A}.

فرم دیفرانسیلی

فرم دیفرانسیلی قانون گاوس، که فقط شامل بارهای آزاد می شود، بیان می دارد:

\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{D} = \rho_{\mathrm{free}}

که D · دیورژانس جابجایی میدان الکتریکی است، و ρfree چگالی بار آزاد می باشد. فرم دیفرانسیلی و فرم انتگرالی از لحاظ ریاضیاتی معادل اند.


بیان هم ارزی بار کل و بار آزاد

در مواد خطی

در مواد همگن، ایزوتروپیک، ناپاشنده خطی یک ارتباط ساده و زیبا بین E و D هست:

\varepsilon \mathbf{E} =  \mathbf{D}

که ε ضریب گذر دهی الکتریکی ماده است. تحت این شرایط هنوز یک جفت از فرمول‌های قانون گاوس باقی است:

\Phi_{E,S} = \frac{Q_{\mathrm{free}}}{\varepsilon}
\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho_{\mathrm{free}}}{\varepsilon}

ارتباط با قانون کولن

استخراج قانون گاوس از قانون کولن

قانون گاوس می تواند از قانون کولن استخراج شود،قانون کولن بیان می دارد که میدان الکتریکی حاصل از بار ثابت است:


\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{\mathbf{e_r}}{r^2}

که :er بردار یکه شعاعی است، r شعاع است،:ε0 هم ثابت الکتریکی است، q بار ذره است، که فرض شده در مبدا قرار دارد.

با استفاده از این بیان قانون کولن، ما میدان کل را در فاصله r با استفاده از انتگرال گیری برای جمع تمام میدان‌ها در r از بارهای بی نهایت خورد در فضای s را داریم:

\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{s})(\mathbf{r}-\mathbf{s})}{|\mathbf{r}-\mathbf{s}|^3} d^3 \mathbf{s}

اگر ما از هر دو طرف تساوی دیورژانس بر حسب r بگیریم داریم

\nabla \cdot \left(\frac{\mathbf{s}}{|\mathbf{s}|^3}\right) = 4\pi \delta(\mathbf{s})

که (δ(s تابع دلتای دیراک است، حاصل به شکل زیر بدست می دهد:

\nabla\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{\epsilon_0} \int \rho(\mathbf{s})\ \delta(\mathbf{r}-\mathbf{s})\ d^3 \mathbf{s}

با استفاده از خاصیت غربالگری تابع دلتای دیراک می رسیم به :

\nabla\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \rho(\mathbf{r})/\epsilon_0

که همان فرم دیفرانسیلی قانون گاوس هست، درست همان طور که انتظار داشتیم.

استخراج قانون کولن از قانون گاوس

به صرف گفتار، قانون کولن را نمی توان از قانون گاوس استخراج کرد چون قانون گاوس هیچ اطلاعاتی در مورد کرل یا تاو E نمی دهد. با این وجود، قانون کولن می تواند از قانون گاوس اثبات شود، بعلاوه، میدان الکتریکی حاصل از بار نقطه ای به شکل کروی متقارن است( این فرض مثل خود قانون کولن است، که وقتی بار ثابت است دقیقا صحت دارد، و وقتی بار در حرکت باشد تقریبا درست است ).

قرار دادن S در فرم انتگرالی قانون گاوس سطح کره ای به دست می دهد به شعاع r، که بار نقطه ای Q در مرکز قرار دارد:

\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = Q/\varepsilon_0

با فرض تقارن کروی، حاصل انتگرال مقدار ثابتی می‌شود که می توان از زیر انتگرال خارج کرد، و نتیجه می دهد:

4\pi r^2\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = Q/\varepsilon_0

که \hat{\mathbf{r}} بردار یکه شعاعی است که سمت بار نقطه ای را که در فاصله r هست نشان می دهد، دوباره با استفاده از تقارن کروی، E در راستای شعاعی را به دست می دهد:

\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0}\frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}

که اساسا معادل قانون کولن می باشد

+ نوشته شده در  پنجشنبه یازدهم آذر 1389ساعت 12:10  توسط مائده السادات طباطبایی نژاد  | 

میدان مغناطیسی

الکترومغناطیس
Solenoid.svg
الکتریسیته · مغناطیس
خطوط میدان مغناطیسی با براده‌های آهن نشان داده شده‌اند. تراوایی زیادی که هریک از براده‌های آهن دارند موجب ایجاد میدان مغناطیسی بزرگ تری در انتهای هر براده شده‌است. این باعث می‌شود هریک از براده‌ها یکدیگر را جذب کنند که یک مجموعه ممتدی به وجود می‌آید که شکل "خط" به خود می‌گیرد. انتظار نمی‌رود که این "خط"‌ها همان خطوط میدان مغناطیسی آهنربا باشند زیرا میدان مغناطیسی براده‌ها مقداری در میدان آهنربا تاثیر می‌گذارد.

در الکترو مغناطیس کلاسیک تعریف میدان مغناطیسی به صورت «میدان حاصل از بار الکتریکی در حال حرکت در اطراف آن» می‌باشد.

میدان مغناطیسی از تک بارها، سیمهای حامل جریان، جهتگیری دوقطبی‌های مغناطیسی (آهنرباهای دایمی)، جریان سیال رسانا (میدان مغناطیسی زمین) ایجاد می‌شوند.

نقشه ساده‌ای از میدان مغناطیسی کره زمین که منبع میدان مغناطیسی زمین را به صورت یک آهنربا نشان می‌دهد. قطب شمال زمین در نزدیکی بالای تصویر و قطب جنوب نزدیک پایین آن است. توجه کنید که قطب جنوب آهنربا در اعماق داخل زمین در زیر قطب جنوب مغناطیسی آن است. میدان مغناطیسی زمین حاصل عبور جریان دائم الکتریکی در هسته مایع خارجی آن است

در الکترو دینامیک نسبیتی بین میدان الکتریکی و میدان مغناطیسی تفاوتی وجود ندارد و تعریف میدان الکترو مغناطیسی به صورت «اثر بار الکتریکی در اطراف آن» تعریف می‌شود. چون حرکت کاملاً نسبی در نظر گرفته می‌شود و نمی‌توان بین بار ثابت و بار متحرک تفاوتی قایل شد(متحرک بودن یا ثابت بودن برای ناظرهای مختلف تفاوت می‌کند). نیروی حاصل از این میدان را نیروی لورنتس می‌خوانند.


به بیانی دیگر میدان مغناطیسی میدانی است که توسط یک جسم مغناطیسی یا ذرات ، و یا با تغییر میدان الکتریکی ،تولید شده‌است [۱] و توسط نیرویی که روی دیگر مواد مغناطیسی و یا حرکت بار الکتریکی اعمال می‌شود شناسایی می‌شود. میدان مغناطیسی در هر نقطه داده شده توسط هر دو پارامتر جهت و شدت (یا مقاومت) مشخص می‌شود، که به عنوان یک میدان برداری شناخته می‌شود.[۲] اشیایی که خود میدان مغناطیسی تولید می‌کنند آهنربا نامیده می‌شوند. آهن رباها توسط نیروها و گشتاورهایی که توسط میدان‌های مغناطیسی تولید می‌کنند بر یکدیگرتاثیر می‌گذارند. آهن ربا معمولاً خود را در جهت میدان مغناطیسی موضعی تراز می‌کند. قطبنماها از این اثر برای اندازه گیری جهت میدان مغناطیسی موضعی ، تولید شده توسط زمین استفاده می‌کنند. ریاضیات پیچیده که میدان مغناطیسی یک شی را نشان می‌دهد با استفاده از خطوط میدان مغناطیسی نشان داده می‌شوند. این خطوط صرفا یک مفهوم ریاضی است وبه صورت فیزیکی وجود ندارد. با این حال ، برخی پدیده‌های فیزیکی از قبیل تراز شدن براده‌های آهن در یک میدان مغناطیسی ، به مانند خطوط در یک الگوی مشابه با خطوط فرضی میدان مغناطیسی از جسم را تولید می‌کند. جهت خطوط میدان مغناطیسی که تراز دلخواه برای براده آهنی که بر روی کاغذی که بر روی یک نوار آهنربا قرار دارد،پاشیده شده‌است.نشان می‌دهد. جاذبه متقابل قطب مخالف براده آهن منجر به تشکیل خوشه‌های دراز از براده در امتداد خطوط میدان شده‌است.

قاعده دست راست

جریان الکتریسیته و انتقال شار الکتریکی میدان مغناطیسی تولید می‌کند. حتی میدان مغناطیسی از یک ماده مغناطیسی را می‌توان به عنوان مدل حرکت شار الکتریکی الگو گرفت. [۳] میدان مغناطیسی نیز بر روی حرکت شارالکتریکی نیرو وارد می‌کند. میدان‌های مغناطیسی در داخل و با توجه به مواد مغناطیسی می‌تواند کاملا پیچیده باشد.میدان مغناطیسی با مواد دیگر اثر متقابلی دارد،بنابر این میدان مغناطیسی متقابلی با مواد دیگر ایجاد می‌کند. شرح میدان مغناطیسی در داخل آهنربا شامل دو رشته جداگانه‌است که می‌تواند هر دو به نام میدان مغناطیسی ، میدان مغناطیسی B و میدان مغناطیسی H نامیده شود. اینها توسط یک میدان سوم که توصیف حالت مغناطیسی مواد مغناطیسی در درون آنهاست، که مغناطیس کنندگی نامیده می‌شود تعریف می‌شود. انرژی مورد نیاز برای ایجاد میدان مغناطیسی می‌تواند زمانی که میدان از بین می‌رود اصلاح شود. و این انرژی می‌تواند ، به عنوان "ذخیره شده" در میدان مغناطیسی در نظر گرفته شود. انرژی ذخیره شده در مواد مغناطیسی به مقادیر B و H بستگی دارد. میدان الکتریکی میدانی است که توسط شار الکتریکی ایجاد شده‌است و این میدان‌ها به طورتنگاتنگی به میدانهای مغناطیسی مربوط می‌شوند؛ تغییر در میدان مغناطیسی میدان الکتریکی و تغییر در میدان الکتریکی میدان مغناطیسی تولید می‌کند. (رجوع کنید به الکترومغناطیس.) ارتباط کامل بین میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی و جریان وشار که آنها را ایجاد می‌کنند ، توسط مجموعه‌ای از معادلات ماکسول توصیف می‌شوند. با در نظرگرفتن این ارتباط خاص ،میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی دو جنبهٔ مرتبط از یک موضوع منفرد، به نام میدان الکترو مغناطیسی هستند.یک میدان الکتریکی خالص ، در یک چارچوب مرجع ، به عنوان ترکیبی از هر دو میدان الکتریکی و میدان مغناطیسی که در یک چارچوب مرجع حرکت می‌کند، مشاهده می‌شود. در فیزیک کوانتومی ، میدان مغناطیسی خالص (و الکتریکی) را توسط اثرات ناشی از فوتون‌های مجازی می‌توان درک کردو در زبان مدل استاندارد، نیروی الکترومغناطیسی در تمام مظاهر توسط فوتون واقع می‌شود.در اغلب موارد این شرح میکروسکوپی مورد نیاز نمی‌باشد چرا که نظریه کلاسیک ساده،قانع کننده‌است ؛ تفاوت تحت میدان با انرژی پایین تردر اکثر شرایط قابل اغماض است.

جهت میدان مغناطیسی در نزدیکی قطب‌های آهنربا با قرار دادن قطب نما در نزدیک آن مشخص می‌شود. همانطور که دیده می‌شود میدان مغناطیسی به سمت قطب S آهنربا و به سمت خارج از قطب N آن است

میدان‌های مغناطیسی در جوامع قدیمی و مدرن استفاده‌های بسیار داشته‌است. زمین میدان مغناطیسی خود را تولید می‌کند.که در جهت یابی ای که توسط قطب شمال قطب نما که به سمت قطب جنوب میدان مغناطیسی زمین منحرف شده‌است،بسیار حایز اهمیت است.از چرخش میدان مغناطیسی در موتور الکتریکی و ژنراتور بهره گرفته شده‌است. نیروهای مغناطیسی ارائه دهنده اطلاعاتی در مورد حرکت شار از طریق اثر هال هستند. تداخل میدان‌های مغناطیسی در دستگاه‌های برقی مانند ترانسفورماتورها در نظم حوزه‌های مغناطیسی مورده مطالعه قرار گرفته‌اند. مطالعه میدان مغناطیسی به عنوان یک موضوع مجزا از آهنربا در قرن 13 هنگامی که Petrus Peregrinus میدان مغناطیسی آهنربای کروی را مطالعه کردو فرض نمود که زمین خود یک آهنربا است.،آغاز شد. تمایزمدرن بین میدان‌های B و H در قرن 19 کشف شد. رابطه بین میدانهای الکتریکی و مغناطیسی در مجموعه‌ای از معادلات ماکسول در نیمه دوم قرن 19کشف شد. و مفهوم الکترومغناطیس متولد شد. روندی که در پشت معادلات ماکسول قرار داشت در نیمه اول قرن 20 مشخص شد ، هنگامی که ارتباط خاص آنها نشان داده شد.. شرح کاملی از الکترومغناطیس ، الکترودینامیک کوانتومی و یا QED نامیده می‌شود ، که شامل مکانیک کوانتومی که در اواسط قرن 20 کشف شد،است.

+ نوشته شده در  چهارشنبه دهم آذر 1389ساعت 21:30  توسط مائده السادات طباطبایی نژاد  | 

 
میدان مغناطیسی
 
 
میدان مغناطیسی و اهنربای دائم 

آهنرباهای دائم اشیائی هستند که میدانهای مغناطیسی مداوم خود را تولید می‌کنند. همه آهنرباهای دائم دو قطب شمال و جنوب دارند. آنها از مواد فرومغناطیسی مانند آهن و نیکل که مغناطیسی شده‌اند ساخته شده‌اند. برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد آهنرباها ،مغناطیسی شدن و در زیر فرومغناطیسی شدن را ببینید. میدان مغناطیسی غیر یکنواخت مانند اثر قطب ‌های متضاد به دفع و جذب قطب مغناطیسی همنام همدیگر را دفع می‌کنند در حالی که دو قطب مخالف همدیگر را جذب می‌کنند. این مثال خاص از یک قاعده کلی است که آهن رباها یی که میدان قوی تری دارند جذب می‌کنند (یا بسته به جهت دفع می‌کنند). به عنوان مثال ، یک قطب مغناطیسی که در نزدیکی قطب مخالف قرار داده شده به سمت میدان مغناطیسی قوی تر کشیده می‌شود. این اثر بستگی به جهت گیری آهنربا نسبت به میدان مغناطیسی دیگر دارد؛ دو قطب همنام در نزدیکی یکدیگر همدیگر را به مناطق دور از میدان مغناطیسی ضعیف تر هل می‌دهند. در بسیاری از موارد ، نیرو و گشتاور در آهنربا می‌تواند کاملا با فرض 'شار مغناطیسی' در نزدیکی قطب آهنربا مدل سازی شوند. در این مدل ، قطبهای مغناطیسی جذب و دفع یکدیگر به شیوه‌ای مشابه با شار الکتریکی انجام می‌دهند. هر 'شار مغناطیسی' میدا ن B خود را تولید می‌کند و توسط میدان B از دیگر شارهای مغناطیسی متاثر می‌شود. میدان خارجی H نیرویی در جهت H در قطب شمال و در خلاف جهت H در قطب جنوب ایجاد می‌کند. در میدان مغناطیسی غیر یکنواخت هر قطب زمینه‌های مختلف دارد و به عنوان نیروی متفاوتی است. تفاوت در دو نیرو حرکت آهنربا در جهت افزایش میدان مغناطیسی را باعث می‌شود و نیز ممکن است باعث گشتاور خالص نیز شود. پس هر قطب مغناطیسی ، منبعی از میدان H است که در نزدیکی قطب‌ها قوی تر است.

شعاع‌های الکترون در یک دایره حرکت می‌کنند. نور نتیجه برانگیختگی اتم‌های گاز در لامپ است

متاسفانه مفهوم قطبهای 'شار مغناطیسی' با دقت آنچه در داخل آهنربا اتفاق می‌افتد را منعکس نمی‌کند (نگاه کنید به فرو مغناطیسی شدن) ؛ شار مغناطیسی وجود ندارد. به عنوان مثال ، بر خلاف شارالکتریکی ، آهن رباها نمی‌تواند قطب‌های جداگانه ای در شمال و جنوب قطب داشته باشند ؛ همه آهنرباها جفت شمال و جنوب دارند. علاوه بر این ، آهنربای کوچک داخل آهنربا بزرگتر در جهت مخالف به آن چه از میدان H انتظار می‌رود پیچیده می‌شود. شرح فیزیکی صحیح تر مغناطیسی شدن شامل حلقه‌های اتمی جریان که در سراسر آهنربا توزیع شده‌است ،می باشد. [۶] در این مدل ، یک آهنربا از بسیاری از آهنرباهای کوچک ، به نام دو قطبی مغناطیسی که هر کدام یک جفت قطب شمال و جنوب مربوط به جریان الکتریکی دارند ، تشکیل شده‌است. هنگامی که در ترکیب آنها به صورت یک آهنربا که قدرت مغناطیسی دارد m. که برای راحتی محاسبات ریاضی است ، همچنین با توجه به جهت متناظر با جهت گیری‌های میدان مغناطیسی آن را تعریف می‌کنند. برای آهنرباهای ساده ، m در جهت خط از جنوب تا قطب شمال آهن ربا کشیده شده‌است. نیروی گرانش بین دو آهنربا کاملا پیچیده و وابسته به قدرت و جهت گیری هر دو آهنربا و وابسته به مسافت و و جهت آهنرباهای متصل به یکدیگر.است. نیرو حساس به چرخش از آهن ربا به علت گشتاور مغناطیسی است. نیروی هر آهنربا در هر لحظه بستگی به خود آهنربا و میدان مغناطیسی B [۷] از سوی دیگر، دارد. میدان B یک آهنربا ی کوچک بسیار پیچیده تر است. در ریاضیات ، نیرو در یک آهنربای که یک مغناطیسی شدن لحظه‌ای m،مربوط به میدان مغناطیسی Bدارد برابر است با : [۸]

\mathbf{F} = \mathbf{\nabla} \left(\mathbf{m}\cdot\mathbf{B}\right),

که در آن شیب تغییرات مقدار m B. در هر واحد از فاصله و جهت است که افزایش حداکثر m.B را محصول است(نقطه معادله زیر را ایجاد می‌کند.ضرب داخلی:(m · B = mBcos(θکه در آن m و B نشان ازاندازه بردارهای m و B است و θ زاویه بین آنها است .) این معادله صرفا فقط برای آهنرباهای صفر اندازه معتبر است ، اما اغلب می‌توان به عنوان تقریبی برای آهن رباهای نچندان بزرگ استفاده کرد. نیروی مغناطیسی در آهنرباهای بزرگتر از تقسیم آنها به مناطق کوچکتر با m مشخص و سپس جمعبندی نیروهای در هر یک از این مناطق تعیین می‌شود.

گشتاور در آهنربا مربوط به میدان B

طرحواره‌ای از آهنربای چهار قطبی. چهار نوک ثابت قطب‌های آهنربا هستند که دو تای آنها با قطب N و دو تا با قطب S مخالفت می‌کنند

گشتاور در آهنربا مربوط به میدان مغناطیسی خارجی می‌تواند با قرار دادن دو آهنربا در نزدیکی یکدیگر در حالی که یکی از آنها شروع به چرخش می‌کنند مشاهده می‌شود. گشتاور مغناطیسی برای به کار انداختن موتورهای ساده الکتریکی استفاده می‌شود. در یک طرح موتور ساده ، آهنربابر روی یک شفت که آزادانه چرخش می‌کند ثابت شده‌است که تحت میدان مغناطیسی ردیفی از الکترو مغناطیسیها قرار دارد.. با سوئیچینگ مداوم جریان الکتریکی از هر کدام از آهنرباهای الکتریکی ، با توجه به تغییر میدان مغناطیسی آنها ، مانند قطب شمال و جنوب کنار روتور ، گشتاور حاصل به شافت منتقل می‌شود. میدان مغناطیسی دوار را مشاهده کنید. گشتاور مغناطیسی τ تمایل دارد قطب مغناطیسی با خطوط میدان B در یک امتداد قرار دهد(تا زمانی که m در جهت قطب‌های مغناطیسی است می‌توان گفت m تمایل دارد با B در یک امتداد قرار بگیرد.)به همین دلیل است سوزن مغناطیسی قطب نما به سمت قطب شمال زمین منحرف می‌شود. با این تعریف ، جهت میدان محلی مغناطیسی زمین جهتی است که در آن قطب شمال قطب نما (یا هر آهنربایی) تمایل به آن نقطه دارد. به طور ریاضی وار ، گشتاور τ آهنربای کوچک متناسب با هر دو ی میدان B اعمال شده مغناطیسی شدن آهنربا m می‌باشد:

\boldsymbol{\tau}=\mathbf{m}\times\mathbf{B}, \,

که در آن × نشان دهنده بردار ضرب خارجی است .در نظر داشته باشید که این معادله شامل تمام اطلاعات کیفی شامل بالامی باشد. هیچ گشتاور مغناطیسی در صورتی که m در امتداد B قرار بگیرد،وجود ندارد(مفهوم ضرب خارجی.) علاوه بر این ، در تمامی جهت‌ها گشتاوری که آنها را به جهت B متمایل می‌کند احساس می‌شود.

 

+ نوشته شده در  چهارشنبه دهم آذر 1389ساعت 21:28  توسط مائده السادات طباطبایی نژاد  | 

تکانه دوقطبی الکتریکی

A water molecule. A molecule of water is polar because of the unequal sharing of its electrons in a "bent" structure. A separation of charge is present with negative charge in the middle (red shade), and positive charge at the ends (blue shade).

در فیزیک تکانه دو قطبی الکتریکی یک مقیاس برای جداساختن بار مثبت و منفی الکتریکی در یک سیستم باردار است و میزان پلاریزه شدن یک سیستم را بیان می‌کند. در یک سیستم ساده با دوبار –q,+q اندازه تکانه عبارت است از p=qd\, که d بردار فاصله‌است که بار منفی به بار مثبت کشیده می‌شود بنابراین بردار تکانه دو قطبی در راستای d از بار منفی به سمت بار مثبت است.هیچ تناقضی در این مسئله وجود ندارد برای اینکه بردار دو قطبی باید جهت گیری دو قطبی را نشان دهد که نحوهٔ قرار گرفتن بارهاست و این جهت میدان روی این بارها را نشان حالت کلی

در حالت کلی برای یک توزیع پیوسته بارها که در یک حجمV توزیع شده‌اند گشتاور دو قطبی چنین تعریف می‌شود

\boldsymbol{p}(\boldsymbol{r}) = \int_{V} \rho(\boldsymbol{r_0})\, (\boldsymbol{r_0}-\boldsymbol{r}) \ d^3 \boldsymbol{r_0},

در حالی که r فاصله از مکان مشاهده و d3r0 بر یک حجم ابتدایی Vدلالت می‌کند برای باریکه‌ای از چگالی بار حاصل جمع تابع دلتای دیراک است.

 \rho (\boldsymbol{r}) = \sum_{i=1}^N \, q_i \, \delta (\mathbf{r} -  \mathbf{r}_i) \,


که در آن هر بردار \mathbf{r}_i برداری است از بار \mathbf{q}_i تا نقطه اندازه گیری بیان فرمول بالا به صورت انتگرالی چنین است:

\boldsymbol{p}(\boldsymbol{r}) = \sum_{i=1}^N \, q_i \int\delta (\mathbf{r_0} -  \mathbf{r}_i )\, (\boldsymbol{r_0}-\boldsymbol{r}) \ d^3 \boldsymbol{r_0}

= \sum_{i=1}^N \, q_i (\boldsymbol{r_i}-\boldsymbol{r}),

این بیان با بیان برای دو بار N = 2 کاملاً یکسان است برای دوبار مخالف مکان بار مثبت با \boldsymbol {r_+}و بار منفی با\boldsymbol {r_-} نمایش داده می‌شود.

\boldsymbol{p}(\boldsymbol{r})=q_1(\boldsymbol{r_1}-\boldsymbol{r})+q_2(\boldsymbol{r_2}-\boldsymbol{r}) = q(\boldsymbol{r_+}-\boldsymbol{r})-q(\boldsymbol{r_-}-\boldsymbol{r}) =q (\boldsymbol{r_+} - \boldsymbol{r_-})=q\boldsymbol d \,

نمایش بردار دو قطبی از بار منفی به بار مثبت است برای اینکه بردار مکان یک نقطه به سمت بیرون از محل قرار گرفتن آن نقطه‌است. وقتی سیستم به طور کلی خنثی باشد بردار تکانه دو قطبی به راحتی قابل فهم است. به عنوان مثال یک جفت از بارهای مثبت یا یک رسانای خنثی در یک میدان الکتریکی را در نظر بگیرید .برای یک سیستم از بارها بدون قرار گرفتن هیچ بار خارجی باریکه‌ای از بار که از بارهای مخالف تشکیل شده‌است رابطه دو قطبی الکتریکی چنین بیان می‌شود.


\boldsymbol{p}(\boldsymbol{r}) = \sum_{i=1}^{N} \,  \int q_i \left(\delta (\mathbf{r_0} - (\mathbf{r}_i + \boldsymbol{d_i}))- \delta (\mathbf{r_0} -  \mathbf{r}_i)  \right)\, (\boldsymbol{r_0}-\boldsymbol{r}) \ d^3 
\boldsymbol{r_0}


= \sum_{i=1}^{N} \, q_i \left( \boldsymbol{r_i +d_i}-\boldsymbol{r} -(\boldsymbol{r_i }-\boldsymbol{r}) \right) 
= \sum_{i=1}^{N} q_i\boldsymbol{d}_i \, 
= \sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{p}_i \,


که در آن جمع برداری تک تک تکانه‌های دو قطبی جفت بارهای خالص است (به علت اینکه بار خالص خنثی است مقدار دو قطبی به فاصلهٔ نقطه مشاهدهrبستگی دارد)بنابراین مقدار p بدون توجه به انتخاب نقطه مرجع در حالت کلی روی یکی از بارها صفر است.وقتی راجع به دو قطبی الکتریکی یک سیستم خنثی مانند یک پروتون صحبت می‌کنیم دو قطبی یک وابستگی به انتخاب نقاط مرجع دارد در این قرار دادها بسته به اینکه نقطه مرجع مرکز جرم سیستم یا مرکز جرم بار باشد یک منبع دلخواه است.این قراردادها نشان می‌دهد که تکانه دو قطبی یک ویژگی ذاتی سیستم است.

پتانسیل و میدان یک دو قطبی الکتریکی

یک دو قطبی ایده آل شامل دوبار با اندازهٔ بسیار کوچک است پتانسیل دو قطبی ایده آلی مانند دوبار مخالف محاسبه می‌شود.

\phi(r)=q/(4\pi \epsilon_0 |r-r_1 |)-q/(4\pi \epsilon_0 |r-r_2 |)\,

r_2-r_1=d\,

که d فاصله بین دوبار است که از مرکز بار اندازه گرفته می‌شود و بردار یکه r در راستای R است.

R=(r_1+r_2)/2;R^\prime=R/R\,

با انجام برخی عملیات ریاضی پتانسیل به صورت زیر بیان می‌شود.

\phi(R)=1/(4\pi \epsilon_0) (qd.R^\prime)/R^2 +other terms\approx 1/(4\pi \epsilon_0) (p.R^\prime)/R^2\,

که سایر عبارات نسبت به d/R\, بسیار کوچک هستند.می دانیم که تکانه دو قطبی به صورت p=dq\,بیان می‌شود. عبارت پتانسیل برای دو قطبی نیز چنین بیان می‌شود:

\phi (R)=-p.\nabla 1/(4\pi \epsilon_0 R)\,

این رابطه نشان می‌دهد که پتانسیل به مکان قرار گرفتن باره بستگی دارد یک نکته مهم دیگر این است که پتانسیل دو قطبی با کاهش r سریع تر از بار نقطه‌ای کاهش می‌یابد. میدان دو قطبی گرادیان پتانسیل است.

E= (3p.R^\prime)/(4\pi \epsilon_0 R^3) R^\prime -p/(4\pi \epsilon_0 R^3)\,

اگر چه دوبار مخالف در یک فاصله معین یک دو قطبی ایده آل نیستند (به دلیل اینکه پتانسیل آن‌ها در فواصل نزدیک شبیه پتانسیل دو قطبی نیست) در فواصلی بزرگتر از فاصله بین دوبار تکانه دو قطبی آن به طور مستقیم در پتانسیل و میدان ظاهر می‌شودهرچه دوبار به یکدیگر نزدیک تر شوند (d کوچکتر شود.)عبارت دو قطبی و چند قطبی بر اساس عبارتd/R\,کسترش می‌یابد و تنها نشانهٔ عبارت R در فاصله‌های بسیار نزدیک است و d مقداری متناهی است. بار دو قطبی باید آن قدر تغییر کند که مقدار p ثابت باشد این فرآیند و نتایج آن مربوط به یک دو قطبی نقطه‌ای است.

چگالی تکانه دو قطبی و چگالی قطبش

تکانه دو قطبی برای باریکه‌ای از بارها به صورت

p=\sum_{h=1}^{N}{q_i d_i}\,

است که میزان قطبش باریه را تخمین می‌زند و برای باریکه بدون بار آشکار یک بردار است که در آن جهت قرار گرفتن باریکه مهم نیست چگالی تکانه دو قطبی هم شامل جهت گیری خط بار و هم شامل تکانه دو قطبی است وقتی می‌خواهیم میدان را در برخی مناطق شامل خط بار محاسبه کنیم معادلات ماکسول را حل می‌کنیم و اطلاعات مربوط به خط بار را از طریق چگالی قطبش وارد معادلات می‌کنیم.بسته به اطلاعات مورد نیاز محاسبه میدان برای باریکهٔ بار بر اساس (p(r بیان می‌شود که با توجه به شرایط مسئله تابعی از (P(r) = p(r می‌باشد.

حال پرسش این است که چگالی قطبش چگونه دارد معادلات ماکسول با تکانهٔ دو قطبی که نه تنها تکانه دو قطبی بلکه مکان خط بار را مشخص می‌کند، مربوط می‌شود.

فرمول بندی معادلات ماکسول بر اساس تقسیم بار و جریان بر بار آزاد و بار مقید و به وسیله D و P معرفی می‌شود.

D = ε.E + P

که P چگالی قطبش است دیورژانس این فرمول منتج به این نتیجه می‌شود.

\nabla \cdot \boldsymbol{D} = \rho_f = \varepsilon _0 \nabla \cdot \boldsymbol{E} +\nabla \cdot \boldsymbol{P}\ ,


بر اساس عبارت دیورژانس E بار کامل و ρf بار آزاد است که بر اساس رابطهٔ زیر بیان می‌شود:

\nabla p = - \rho _b

ρbبار مقید است که تفاوت میان بار کل و بار آزاد است.

از طرف دیگر در غیاب میدان مغناطیسی در معادلهٔ ماکسول \nabla xE=0 است که منجر می‌شود\nabla_x (D-P) که ملزم انرژی آزاد هلملولتز می‌شود.

(D-P)=-\nabla\phi

برای پتانسیل اسکالر ϕ

\nabla.(D-P)=\epsilon_0 \nabla.E=p_f+p_b=-\nabla^2 \phi.

بر اساس اینکه بار به دو دستهٔ آزاد و نقید تقسیم بندی می‌شود پتانسیل به صورت φ = φf + φb بیان می‌شود.

به طور کلی هنگامی که هیچ باری آزاد نیست یک انتخاب به صورت P = ε.E وجود دارد.

بار رسانا و چگالی دو قطبی

همان طور که قبلاً بحث شد یک مدل برای چگالی تکانه قطبیده (P(r) = p(r می‌شود با اندکی تغییرات در توزیع تکانه چگالی بار مقید به صورت p(r) = −ρb بیان می‌شود اگر چه در مورد (p(r ایجاد یک تغییر ناگهانی در تکانه دو قطبی میان دو نقطه ·(p(r∇ یک سطح بار منزوی را نشان می‌دهد. ·

از این سطح بار می‌توان انتگرال گرفت و یا با استفاده از شرایط مرزی آن را محاسبه کرد برای اولین مثال مربوط به تکانه دو قطبی در قطبش یک رسانا با چگالی با( ρ(r و تکانه دو قطبی (p(r در نظر بگیرید پتانسیل در نقطه r عبارت است از :

\phi  ( \boldsymbol{r} ) = \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0}\int \frac { \rho ( \boldsymbol{ r}_0 )} {| \boldsymbol{ r}- \boldsymbol{r}_0 | } d^3 \boldsymbol{ r}_0 \ + \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0}\int \frac { \boldsymbol{p} ( \boldsymbol{ r}_0 )\boldsymbol{\cdot (r - r_0)}} {| \boldsymbol{ r}- \boldsymbol{r}_0 |^3 } d^3 \boldsymbol{ r}_0 ,

که (ρ(rچگالی بار است و (p(r چگالی تکانه دو قطبی است با استفاده از تساوی زیر :

\nabla_{\boldsymbol {r}_0} \frac {1}{|\boldsymbol r - \boldsymbol{r}_0|} = \frac {\boldsymbol r - \boldsymbol{r}_0}{|\boldsymbol r - \boldsymbol{r}_0|^3}
\frac {1}{4 \pi \varepsilon_0}\int \frac { \boldsymbol{p} ( \boldsymbol{ r}_0 )\boldsymbol{\cdot (r - r_0)}} {| \boldsymbol{ r}- \boldsymbol{r}_0 |^3 } d^3 \boldsymbol{ r}_0 =\frac {1}{4 \pi \varepsilon_0}\int   \boldsymbol{p} ( \boldsymbol{ r}_0 )\boldsymbol{\cdot \nabla}_{\boldsymbol {r}_0} \frac {1}{|\boldsymbol r - \boldsymbol{r}_0|} d^3 \boldsymbol{ r}_0  \,
 =\frac {1}{4 \pi \varepsilon_0}\int  \boldsymbol{\nabla_{\boldsymbol {r_0}}\cdot}  \left( \boldsymbol{p} ( \boldsymbol{ r}_0 ) \frac {1}{|\boldsymbol r - \boldsymbol{r}_0|} \right) d^3 \boldsymbol{ r}_0 -\frac {1}{4 \pi \varepsilon_0}\int   \frac {\boldsymbol{\nabla_{\boldsymbol {r_0}}\cdot}   \boldsymbol{p} ( \boldsymbol{ r}_0 )}{|\boldsymbol r - \boldsymbol{r}_0|}  d^3 \boldsymbol{ r}_0  \,

عبارت اول به یک انتگرال روی سطح تبدیل می‌شود با جاگذاری این رابطه در پتانسیل این رابطه بدست می‌آید.

\phi  ( \boldsymbol{r} ) = \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0}\int \frac { \rho ( \boldsymbol{ r}_0 )-\boldsymbol{\nabla_{\boldsymbol {r_0}}\cdot}   \boldsymbol{p} ( \boldsymbol{ r}_0 )} {| \boldsymbol{ r}- \boldsymbol{r}_0 | } d^3 \boldsymbol{ r}_0 \,

پتانسیل به وسیلهٔ بار تخمین زده می‌شود که می‌توان نوشت .

\rho_{total} (\boldsymbol{ r}_0)=  \rho ( \boldsymbol{ r}_0 )-\boldsymbol{\nabla_{\boldsymbol {r_0}}\cdot}   \boldsymbol{p} ( \boldsymbol{ r}_0 ) \,

که نشان می‌دهد

-\boldsymbol{\nabla_{\boldsymbol {r_0}}\cdot}   \boldsymbol{p} ( \boldsymbol{ r}_0 ) = \rho_b \,

به طور خلاصه تکانه دو قطبی (p(r نقش چگالی قطبش را برای رسانا ایفا می‌کند توجه به این نکته ضروری است که (p(r یک دیورژانس غیر مساوی با صفر دارد.

باید به این نکته توجه کرد که از رابطه زیر می‌توان برای چند قطبی‌ها: دو قطبی ،چهار قطبی و . . .استفاده کرد

\nabla \cdot \boldsymbol{D} = \rho_f \,

انتظار می‌رود که چگالی قطبش چنین بیان شود :

\boldsymbol{P( r )} = -\boldsymbol{\nabla \cdot p_{Dip}} -\boldsymbol{\nabla \cdot p_{Quad}} + ... \,

که عبارات بعدی برای چند قطبی‌های مرتبه بالاتر است.

بار سطحی

A uniform array of identical dipoles is equivalent to a surface charge.

در مباحث قبلی با استفاده از یک عبارت دارای دیورژانس برای پتانسیل به یک دو قطبی رسیدیم این عبارت نتیجهٔ یک بار سطحی است. شکل آرایشی از باریکه‌ای از دو قطبی‌های مشابه را نشان می‌دهد باید از خارج سر و دم قطبی‌های مجاور یکدیگر را خنثی می‌کنند در یک سطح بسته هیچ خنثی کردنی اتفاق نمی‌افتد در عوض بر روی سطح سر دو قطبی‌ها نقش قطب مثبت و دم آن‌ها نقش قطب منفی را ایفا می‌کنند این دو سطح مخالف یک میدان الکتریکی ایجاد می‌کنند که جهت آن در خلاف جهت دو قطبی است این نظریه یک فرم ریاضی به خود می‌گیرد که به صورت زیر بیان می‌شود .

\phi  ( \boldsymbol{r} ) =\frac {1}{4 \pi \varepsilon_0}\int  \boldsymbol{\nabla_{\boldsymbol {r_0}}\cdot}  \left( \boldsymbol{p} ( \boldsymbol{ r}_0 ) \frac {1}{|\boldsymbol r - \boldsymbol{r}_0|} \right) d^3 \boldsymbol{ r}_0 -\frac {1}{4 \pi \varepsilon_0}\int   \frac {\boldsymbol{\nabla_{\boldsymbol {r_0}}\cdot}   \boldsymbol{p} ( \boldsymbol{ r}_0 )}{|\boldsymbol r - \boldsymbol{r}_0|}  d^3 \boldsymbol{ r}_0 \,

با استفاده از قضیه دیورژانس داریم .

\frac {1}{4 \pi \varepsilon_0}\int  \boldsymbol{\nabla_{\boldsymbol {r_0}}\cdot}  \left( \boldsymbol{p} ( \boldsymbol{ r}_0 ) \frac {1}{|\boldsymbol r - \boldsymbol{r}_0|} \right) d^3 \boldsymbol{ r}_0
=\frac {1}{4 \pi \varepsilon_0}\int   \frac {\boldsymbol{p} ( \boldsymbol{ r}_0 )\boldsymbol{\cdot } d \boldsymbol {A_0 } } {|\boldsymbol r - \boldsymbol{r}_0|} \,

که dAo یک المان سطحی از حجم است که می‌توان نوشت

\phi  ( \boldsymbol{r} ) =\frac {1}{4 \pi \varepsilon_0}\int   \frac {1}{|\boldsymbol r - \boldsymbol{r}_0|}\  \boldsymbol{p}  \cdot d\boldsymbol{A_0} \,

dAo یک المان است که از سطح گرفته می‌شود پتانسیل روی سطح با در نظر گرفتن مقدار ثابت pبا بار سطح برابر می‌شود σ = dA که مقدار آن در راستای p مثبت و در خلاف آن منفی است(معمولاً المان را طوری می‌گیرند که جهت آن عمود بر سطح به طرف بیرون باشد.)

اگر سطح مورد نظر کرده باشد و نقطه مشاهده در مرکز کره انتگرال روی سطح کره صفر است زیرا توزیع دو قطبی‌ها به گونه‌ای است که بارهای هم ارز یکدیگر را حذف می‌کنند اگر نقطه مشاهده جایی جز مرکز باشد یک پتانسیل بدست می‌آید به دلیل اینکه قطب‌های مثبت و منفی در فاصلهٔ متفاوتی از نقطه مشاهده قرار دارند .می‌دانی که به بار سطحی می‌انجامد عبارت است از:

\boldsymbol E ( \boldsymbol{r} )  =-\frac {1}{4 \pi \varepsilon_0} \boldsymbol{\nabla}_{\boldsymbol {r}}\int   \frac {1}{|\boldsymbol r - \boldsymbol{r}_0|}\  \boldsymbol{p}  \cdot d\boldsymbol{A_0} \,

که در مرکز کره پتانسیل صفر است اما در عوض میدان

\boldsymbol E =-\frac {\boldsymbol p}{3 \varepsilon_0}  \,


اگر چنین فرض شود که قطبیدگی توسط یک میدان خارجی است در این حالت قطبیدگی دو قطبی می‌تواند روی میدان اثر بگذارد و یا حتی آن را خنثی کند به علاوه هنگامی که یک کره توخالی داریم میدان حاصل از قطبش دو قطبی‌ها در جهت میدان است.به طور مشخص پذیر فتاری الکتریکی چنین تعریف می‌شود :

\boldsymbol{p(r)} = \varepsilon_0 \chi(\boldsymbol r ) \boldsymbol {E(r)} \,

سپس :

 \boldsymbol { \nabla \cdot p(r)}=\boldsymbol { \nabla \cdot} \left( \chi \boldsymbol{ (r)}\varepsilon_0 \boldsymbol {E(r)}\right) =-\rho_b \,

(χ (r به عنوان یک الگو برای بار محدود به دو نقطه انتخاب می‌شود به عنوان مثال انتگرال در امتداد بردار نرمال یک سطح بسته از نقطه داخل سطح به نقطه‌ای در خارج سطح چنین بدست می‌آید :

\varepsilon_0 \hat{\boldsymbol n} \cdot \left( \chi \boldsymbol{ (r_+)}\boldsymbol {E(r_+)}-\chi \boldsymbol{ (r_-)}\boldsymbol {E(r_-)}\right) =\frac{1}{A_n} \int d \Omega_n \ \rho_b = 0 \,

که An, Ωn مکان و حجم المان را نشان می‌دهند و  \hat{\boldsymbol n} بردار واحد سطح است با میل دادن المان حجم به صفر سمت راست به صفر نزدیک می‌شود در این ρb متناهی است و این نشان دهندهٔ متناهی بودن E است و در ادامه آن متناهی بودن بار سطحی .چگالی قطبش به تکانه دو قطبی با این رابطه مربوط می‌شود

(p(r) = χ(r)E(r که همان طور که دیده می‌شود به توزیع بار بر سطح نیز بستگی دارد این مطلب این گونه تفسیر می‌شود که به طور واقع بینانه از دیدگاه فیزیکی

(p(r می‌تواند چگالی تکانه دو قطبی را در مرزها به صفر برساند و به طور ناگهانی صفر نمی‌شود بنابراین بار موزی در مرزها صفر نمی‌شود و بار سطحی با دیورژانس چگالی تکانه دو قطبی جایگزین می‌شود.


کرهٔ دی الکتریک در میدان خارجی یکنواخت

Electric field lines in dielectric sphere with greater susceptibility than its

فرض می‌کنیم میدان کروی یکنواخت در راستای z داریم از مختصات کروی برای حل این مسئله استفاده می‌کنیم بنابراین پتانسیل میدان چنین بدست می‌آید:

 \phi_{\infty} =  - E_{\infty}z = -E_{\infty} r \cos \theta  \,

کره با یک ثابت دی الکتریک k توصیف می‌شود کهD = κε0E و پتانسیل با استفاده از تساوی لاپلاس بدست می‌آید با انجام مقداری عملیات ریاضی در نزدیکی کره بدست می‌آوریم :

 \phi_< = A r \cos \theta \,

در حالی که در بیرون کره :

 \phi_> = \left(Br + \frac {C}{r^2} \right ) \cos \theta \,

در فواصل بزرگ φ> → φ بنابراین B = -E با جاگذاری پتانسیل و مؤلفه جابه جایی D = κε0E دو ثابت دیگر را می‌توان حدس زد. با فرض اینکه شعاع کره R باشد داریم :

A = -\frac{3}{\kappa +2} E_{\infty} \ ;\ C=\frac {\kappa-1}{\kappa+2} E_{\infty} R^3 \,

بر اساس یک نتیجه منطقی پتانسیل عبارت است از :

 \phi_> = \left( {-r}+\frac {\kappa-1}{\kappa+2}\frac {{R^3}}{r^2} \right)E_{\infty} \cos \theta \,

به دلیل وجود پتانسیل ،میدان و به علاوه یک جهت برای دو قطبی در نهایت تکانه در قطبی بدست می‌آید:

 \boldsymbol p = 4 \pi \varepsilon_0 \left(\frac {\kappa-1}{\kappa+2}{R^3} \right) \boldsymbol{E_{\infty}} \,

یا با تقسیم بر حجم :

 \frac {\boldsymbol p}{V} =  {3}\varepsilon_0 \left(\frac {\kappa-1}{\kappa+2}\right) \boldsymbol{E_{\infty}} \,

عامل (k-1)/(k-2) البته در این مثال نمی‌تواند اتفاق بیفتد اما در مثالی با دو دی الکتریک مختلف k می‌تواند با یک رابطه خطی که بین ثابت‌ها در داخل و خارج دی الکتریک برقرار است جایگزین شود که می‌تواند یکی بزرگتر یا کوچکتر باشد پتانسیل در نزدیکی سطح کره چنین است :

 \phi_< = -\frac{3}{\kappa +2} E_{\infty}r \cos \theta \,

که به این میدان در نزدیکی کره منجر می‌شود :

 \boldsymbol {-\nabla} \phi_< = \frac{3}{\kappa +2} \boldsymbol{ E_{\infty}} =\left( 1-\frac {\kappa-1}{\kappa+2} \right)\boldsymbol{ E_{\infty}} \,

که اثرات قطبیدگی را بر دو قطبی نشان می‌دهد توجه کنید که میدان در اطراف کره یکنواخت است و موازی محور اصلی است تکانه دو قطبی در نقاط داخل کره یکنواخت است چگالی بار سطحی در راستی مؤلفهٔ شعاعی کره چنین است :

 \sigma = {3}\varepsilon_0\frac {\kappa-1}{\kappa+2} E_{\infty} \cos \theta =\frac{1}{V} \boldsymbol{ p \cdot \hat{R}}\,

این مثال نشان می‌دهد که رفتار دی الکتریک مانند دو قطبی الکتریکی یکنواخت است و همه جا به صفر میل می‌کند جز در نقاط مرزی کره .

روش کلی

اگر مشاهدات یک سیستم بار تنها محدود به منطقه‌ای جزئی باشد یک آرایش از چند قطبی‌ها را می‌توان بررسی کرد با ناقص کردن این توزیع برای مثال تنها عبارات شامل دو قطبی یا چهار قطبی را نگه می‌داریم می‌توان به همان نتایج تقسیم قبل رسید.به طور کلی عبارت مربوط به چند قطبی غیر قابل تشخیص از چگالی قطبش تولید شده دو قطبی یکنواخت است در مکان‌های نزدیک باریکه برای وارد کردن تکانه دو قطبی به توجهات بیش تری نیاز است این ساده‌ترین تخمین برای جاگذاری باریکهٔ بار با یک دو قطبی ایده آل است در مثال‌های قبلی ما از یک چگالی تکانه دو قطبی ثابت استفاده کردیم که به یک منطقه خاص محدود بود یک مدل عام تر این روش روابط پذیر فتاری الکتریکی و نفوذپذیری الکتریکی در روابط است یک مدل بسیار پیش رفته تر استفاده از رسانندگی مؤثر از میانگین بارهای میکروسکوپیک است برای مثال میانگین می‌تواند طوری باشد که فقط دو قطبی‌ها در میدان نقش داشته باشند یک مدل رایج از این روش دوبار با فاصله که مانند دو دی الکتریک همجنس رفتار می‌کنند و بارهای نزدیک به طور تخمینی مدلی از دو قطبی‌ها هستند.


تکانه دو قطبی ذرات بنیادی

کارهای تجربی بسیاری برای اندازه گیری تکانه دو قطبی الکتریکی (EDM) ذرات بنیادی نوترون و الکترون انجام گرفته‌است از آنجا که (EDM) تقارن زمان و زوجیت را از بین می‌بردمقدار آن‌ها به یک مدل مستقل وابسته می‌شود بنابراین برای توصیف آن‌ها به مدل‌های استاندارد فیزیک ذرات نیازمندیم.

در واقع تئوری‌های بسیاری در این مورد بیان شده‌اند که برخی از آن‌ها نقش قابل توجهی نیز داشته‌اند تئوری‌های جدید در جهت یافتن یک رنج بزرگ از EDM هاست که در آزمایشات LHC عملی شده‌اند.

+ نوشته شده در  چهارشنبه دهم آذر 1389ساعت 21:12  توسط مائده السادات طباطبایی نژاد  | 

پتانسیل الکتریکی

  
علوم طبیعت > فیزیک > الکتریسیته و مغناطیس > الکتریسیته
علوم طبیعت > فیزیک > فیزیک جامد و الکترونیک > فیزیک الکترونیک
-->(cached)

نگاه اجمالی

انرژی لازم (یا کار لازم) برای انتقال واحد بار الکتریکی از بی‌نهایت به جسم یا نقطه مورد نظر ، واحد پتانسیل الکتریکی در دستگاه SI ولت است و نیز اختلاف پتانسیل الکتریکی دو نقطه از مدار الکتریکی وقتی از پتانسیل بیشتر به سمت پتانسیل کم بودیم. میدان الکتریکی را به دو راه می‌توان تعریف کرد: از راه بردار میدان الکتریکی Ē و از راه کمیت نرده‌ای پتانیسل الکتریکی (V(p (پتانسیل نقطه p) و هرگاه کار لازم برای بردن یک کولن بار الکتریکی از نقطه‌ای به نقطه‌ای دیگر برابر 1J باشد. اختلاف پتانسیل میان دو نقطه برابر 1V خواهد بود.



تصویر




اختلاف پتانسیل الکتریکی

اختلاف پتانسیل الکتریکی، (VB - VA) میان دو نقطه B و A در یک میدان الکتریکی برابر است با کار مکانیکی VAB، لازم برای جابجا کردن بار آزمودن مثبت q0 از A تا B تقسیم بر مقدار بار الکتریکی آزمون (q0) می‌باشد. نقطه A را به عنوان مرجع استاندارد انتخاب می‌کنیم، این نقطه معمولا در بی‌نهایت دور یا روی زمین انتخاب می‌شود که در آنجا پتانسیل الکتریکی صفر است. بنابراین ، پتانسیل الکترکی (V(p در نقطه (P(X,Y,S را می‌توان چنین تعریف کرد:

V(P) = U(P)/q0


که در آن (V(P کار لازم برای انتقال دادن بار آزمون q0 از نقطه مرجع به نقطه (P(X,Y,S است. این کار برابر است با منفی کاری که میدان الکتریکی روی بار آزمون انجام می‌دهد.

ماهیت پتانسیل الکتریکی

همانطور که جسم به هنگام حرکت در خلاف جهت نیروی گرانشی انرژِی پتانسیل کسب می‌کند. ذره باردار هم هنگام حرکت در خلاف جهت نیروی حاصل از میدان الکتریکی دارای انرژِی پتانسیل می‌شود. چون نیروی الکتریکی بر خلاف نیروی گرانشی ، می‌تواند هم به صورت جاذبه و هم به صورت دافعه باشد. جهت افزایش پتانسیل به علامت بار الکتریکی ذره و نیز به جهت میدان الکتریکی بستگی دارد. جهت میدان الکتریکی از طرف ذره با بار مثبت به طرف ذره با بار منفی (یا به طرف بی‌نهایت) است. برای جابجا کردن ذره با بار منفی در جهت میدان الکتریکی باید کار انجام گیرد. زیرا این ذره به طرف چشمه مولد میدان الکتریکی جذب می‌شود و این درست مانند جسمی است که از حال سکون رها می‌شود و بر اثر گرانی به طرف زمین کشیده می‌شود.

برای به حرکت در آوردن ذره‌ای با بار مثبت در خلاف جهت میدان الکتریکی (نیز به طرف چشمه مثبت) نیز باید کار انجام داد. ذره مثبت خود به خود در جهت میدان الکتریکی حرکت می‌کند، در نتیجه انرژی پتانسیل آن به انرژی جنبشی تبدیل می‌شود. در این حالت میدان الکتریکی روی ذره کار مثبت انجام می‌دهد). چون کمیت میدان الکتریکی با استفاده از آثارش روی ذره مثبت تعریف می‌شود، پتانسیل الکتریکی در جهت میدان الکتریی کاهش می‌یابد.



تصویر




کاربرد پتانسیل الکتریکی در میدان الکتریکی

چون در حالتی که نیرو و جابجایی هم جهت هستند کار برابر با حاصل ضرب نیرو در جابجایی است. به کار انجام شده روی واحد بار الکتریکی وقتی که بر مسافت پیموده شده تقسیم می‌شود، حاصل آن با نیروی وارد شده بر واحد الکتریکی برابر می‌شود. پتانسیل الکتریکی به تغییر انرژی هر واحد بار است و برابر می‌شود با کار روی واحد بار با علامت منفی ، چون بنا به تعریف &&20:شدت میدان الکتریی برابر با نیروی وارد شده بر واحد بار است&&. نسبت تغییر پتانسیل الکتریکی به مسافت پیموده شده برابر می‌شود با V/∆d∆- که با میدان الکتریکی E برابر است. کاسته شدن پتانسیل در جهت میدان الکتریکی ، استفاده از علامت منفی را الزامی می‌کند.

این رابطه دقیق فقط برای میدانهای الکتریی ثابت صادق است. هنگامی که میدان الکتریکی به فاصله بستگی داشته باشد. حد تغییرات در فاصله‌های بسیار کوچک را باید در نظر گرفت. در نتیجه ، برای محاسبه میدان الکتریکی بر حسب پتانسیل باید از مشتق جزئی به صورت زیر استفاده کرد:


Ex = -5V(P)/5X

Ey = -5V(p)/5y

Ez = -5V(p)/5s

بطور کلی ، چون پتانسیل کمیتی نرده‌ای است، بهتر است ابتدا پتانسیل الکتریکی را پیدا کنیم و آنگاه میدان الکتریکی را از پتانسیل بدست آوردیم. چون پتانسیل الکتریکی بردار نیست، نسبت به بردار میدان الکتریکی E اطلاعات کمتر دارد.

سطوح هم پتانسیل

انرژی پتانسیل گرانشی جسمی که روی سطح میزی افقی حرکت می‌کند، نه کاهش پیدا می‌کند و نه افزایش می‌یابد. چنین سطحهایی برای انرژی پتانسیل الکتریکی هم وجود دارند که آنها را سطحهای هم پتانسیل می‌نامند. در سطح هم پتانسیل انرژِی پتانسیل الکتریکی تغییر نمی‌کند. در نتیجه برای حرکت ذره بار دار در این سطح نیازی به انجام کار نیست. سطح هم پتانسیل ، یک سطح فیزیکی نیست بلکه توصیفی ریاضی است.

چون پتانسیل الکتریکی در جهت میدان الکتریکی کاهش پیدا می‌کند، خطها یا سطحهای هم پتانسیل باید در هر نقطه بر میدان عمود باشند. از آنجا که در حالت تعادل الکتروستاتیکی ، میدان الکتریکی در هر نقطه بر سطح رسانا عمود است. پس سطح رسانا همیشه یک سطح هم پتانسیل است. اگر چنین نباشد، بارهای الکتریکی در روی سطح رسانا آن قدر حرکت می‌کنند تا هیچ نیرویی بر آنها وارد نشود و باز هم یک سطح هم پتانسیل بدست می‌آید. هنگامی که جسمی به زمین وصل می‌شود، به صورت سطح هم پتانسیلی در می‌آید، که پتانسیل الکتریکی آن برابر صفر است.

یک مثال عملی

باتری وسیله متداولی است که با استفاده از انرژی شیمیایی ، بین پایانه‌های آن اختلاف پتانسیل الکتریکی برقرار می‌شود، انرژِی شیمیایی بارهای الکتریکی مثبت را از پایانه‌های منفی به طرف پایانه مثبت حرکت می‌دهد و پتانسیل‌شان را بالا می‌برد. برای مثال:
پتانسیل بار الکتریکی نقطه‌ای q در فاصله ی r از آن ، از رابطه: V = 1/4πε0∑qi/ri بدست می‌آید.

کار لازم برای گردآوری سیستم دل خواهی از بازایی الکتریکی نقطه که در آغاز در فاصله‌های بی‌نهایت دور از هم بوده‌اند، در فضای بدون میدان الکتریکی اولیه ، با انرژی پتانسیل الکتروستاتیکی آن سیستم برابر می‌شود. کار لازم برای آوردن نخستین بار از نقطه‌ای از بی‌نهایت برابر صفر است. زیرا پیش از آوردن بارها هیچ میدان الکتریکی وجود ندارد. هنگام آوردن هر یک از بارهای الکتریکی اگر فاصله باز qi تا بار qj را با rij نشان دهیم. کار لازم برای گرد آوری را می‌توان به صورت زیر نوشت:

w = qv = 1/ 4πε0∑qiqj/rij


پتانسیل مربوط به یک قطبی الکتریکی با گشتاور P برابر است با:

V = 1/4πε0∑|P| Cosө/r2


که در آن ө زاویه میان دو قطبی و خط واصل دو قطبی دو نقطه r و p فاصله ی میان دو قطبی و نقطه ی p است (ө زاویه میان بردارهای r و p است) پتانسیل مربوط به یک چهار قطبی الکتریکی با گشتاور 4 برابر است با:

V = 1/4πε0 φ/r3

+ نوشته شده در  چهارشنبه دهم آذر 1389ساعت 21:5  توسط مائده السادات طباطبایی نژاد  | 





مقدمه

از مکانیک کوانتومی می‌دانیم که هر گاه اتم در یک میدان خارجی قرار گیرد، در این صورت در اثر میدان ترازهای انرژی اندکی جابجا می‌شوند. بطوری که این جابجایی ترازها با مشاهده خطوط طیفی حاصل از اتم قابل مشاهده است. مطالعه کامل اثرات میدان بر روی اتم در نظریه اختلال مورد بحث قرار می‌گیرد. از این اثرات تحت عناوین مختلف در مکانیک کوانتومی‌ یاد می‌شود. مثلا اثرات میدان مغناطیسی در اثر زیمان مورد بحث قرار می‌گیرد. اما اگر اتم در یک میدان الکتریکی قرار گیرد، تغییرات مشاهده شده در اتم در اثر استارک خطی مورد ارزیابی قرار می‌گیرد.

چرا میدان الکتریکی می‌تواند روی اتم تأثیر کند؟

در حالت کلی اتم می‌تواند به دو صورت باشد. یا گشتاور دو قطبی الکتریکی دایمی‌ دارد (قطبی است) و یا اینکه غیر قطبی بوده و فاقد گشتاور دو قطبی دائمی ‌است. از نظر کلاسیکی هر دستگاهی که دارای گشتاور دو قطبی دایمی‌ باشد، جابجایی انرژی به بزرگی d.ε را که در آن d گشتاور دو قطبی و ε میدان الکتریکی است، می‌تواند تحمل کند.



تصویر




امکان وجود اثر استارک خطی از نظر فیزیکی

اثر میدان الکتریکی بر روی اتم را توسط یک جمله اختلالی که به پتانسیل افزوده می‌شود، در نظریه اختلال بحث می‌کنند. به عنوان مثال اگر یک میدان الکتریکی ε که در جهت محور z قرار دارد، اگر بر اتم اعمال شود، پتانسیل اختلالی به صورت eεz خواهد بود که بخش اختلالی هامیلتون اتم را تشکیل می‌دهد. براساس روابط نظریه اختلالی جابجایی انرژی حالت پایه صفر است. بنابراین برای حالت پایه هیچ جابجایی انرژی وجود ندارد که بر حسب میدان الکتریکی خطی باشد.

همچنین براساس آنچه در مورد گشتاور دو قطبی دایمی‌ بیان شد، اتم نمی‌تواند در حالت پایه‌اش هیچ گشتاور دو قطبی دایمی‌داشته باشد. این استدلال را در مورد هر دستگاهی می‌توان تعمیم داد.یعنی در حالت کلی هر دستگاهی در ناتبهگن نمی‌تواند گشتاور دو قطبی دایمی‌داشته باشد. البته باید توجه داشته باشیم که عبارت ناتبهگن مهم است. یعنی فقط در این صورت است که این حالتها نمی‌توانند ویژه حالتهای عملگر پارتیه شوند. لذا مجذور تابع موج تابعی زوج بوده و جابجایی انرژی صفر خواهد بود. لذا به بیان فیزیکی در این حالت ، اثر استارک خطی نمی‌تواند وجود داشته باشد و چون حالت پایه ناتبهگن است، لذا این مطلب عمومیت داده می‌شود.
+ نوشته شده در  چهارشنبه دهم آذر 1389ساعت 20:59  توسط مائده السادات طباطبایی نژاد  | 

گشتاور مغناطیسی

گشتاور مغناطیسی یک آهن‌ربا معیاری از تمایل آن به هم‌خط شدن با یک میدان مغناطیسی است. هم میدان مغناطیسی و هم گشتاور مغناطیسی را می‌توان بردارهایی در نظر گرفت که دارای اندازه و جهت هستند. جهت گشتاور مغناطیسی از قطب جنوب آهن‌ربا به قطب شمال آن است. میدان مغناطیسی تولید شده به وسیلهٔ یک آهن‌ربا با گشتاور مغناطیسی آن متناسب است. برای نمونه، یک حلقهٔ حامل جریان الکتریکی، یک آهن‌ربای میله‌ای، یک الکترون، یک مولکول، و یک سیّاره همگی دارای گشتاور مغناطیسی هستند. به بیان دقیق‌تر، واژهٔ گشتاور مغناطیسی معمولاً به گشتاور دو قطبی مغناطیسی سیستم، که نخستین جمله از بسط چند جمله‌ای یک میدان مغناطیسی عمومی است، اشاره دارد. جزء دو قطبی میدان مغناطیسی یک جسم، حول جهت گشتاور دو قطبی مغناطیسی آن جسم متقارن است، و متناسب با معکوس توان ۳ فاصله از آن جسم کاهش می‌یابد.

دو قطبی‌های مغناطیسی

میدان مغناطیسی یک دو قطبی مغناطیسی ایده‌آل در شکل ۱ نشان داده شده‌است. اما، آن‌گونه که توضیح داده خواهد شد، به دلیل ارتباط ذاتی گشتاور زاویه‌ای و مغناطیس، دو قطبی‌های مغناطیسی در مواد واقعی، دو قطبی‌های مغناطیسی ایده‌آل نیستند (همان‌گونه که پیش‌تر توضیح داده شد، رابطهٔ بین گشتاور زاویه‌ای و مغناطیس اساس اثر اینشتین-دهاس، دوران بر اثر مغاطیسی شدن، و بر عکس آن، اثر بارنت، مغناطیسی شدن بر اثر دوران، است).

Magnetic field lines around a ”magnetostatic dipole” the magnetic dipole itself is in the center and is seen from the side.

شکل ۱: خطوط میدان مغنایسی در اطراف یک دو قطبی مگنتو استاتیک. خود دو قطبی مغناطیسی در مرکز بوده و از کنار قابل دیدن است. میدان مغناطیسی آهن‌رباهای دائمی و همهٔ مواد مغناطیسی از سطح اتمی سرچشمه می‌گیرد. گشتاور مغناطیسی کلی یک اتم به دلیل ترکیب جریان الکترون‌هایی که به دور هستهٔ مادهٔ مغناطیسی می‌چرخند (جزء اوربیتی)، به علاوهٔ یک جزء ناشی از چرخش الکترون‌ها و هسته به دور خود، جزء اسپینی، است (ماهیت واقعی میدان مغناطیسی درونی الکترون‌ها و نوکلئون‌هایی که هسته را می‌سازند، نسبیتی است). جزء اوربیتی این آهن‌رباهای کوچک را می‌توان به صورت حلقه‌های کوچک جریان و دو قطبی‌های مغناطیسی مربوطه مدل کرد. گشتاور دو قطبی یک دوقطبی به صورت حاصل‌ضرب جریان در مساحت حلقه تعریف شده و نشان‌گر قدرت آن آهن‌ربا است. اما در مواد مغناطیسی، مانند آلیاژهای آهن، کبالت و نیکل، مغناطیسی بودن تقریباً به صورت کامل بر اثر اسپین است و نه مغناطیس اوربیتی. گشتاور مغناطیسی ناشی از یک اتم، الکترون یا هسته، آن‌گونه که دو قطبی الکتریکی، ایده‌آل است، یک دو قطبی ایده‌آل نیست. اگر به یک دو قطبی مغناطیسی به عنوان یک کرهٔ باردار چرخان بنگریم، رابطهٔ نزدیک بین گشتاور مغناطیسی و گشتاور زاویه‌ای آشکار می‌شود. گشتاور مغناطیسی و گشتاور زاویه‌ای، هر دو با افزایش نرخ چرخش کره افزایش می‌یابند. نسبت این دو پارامتر، گشتاور ژیرو مغناطیسی نامیده شده و معمولاً با نماد γ نمایش داده می‌شود.

گشتاور مغناطیسی اتم‌ها

برای یک اتم، اسپین‌های الکترون‌های مجزا با هم جمع می‌شوند تا اسپین کلی به دست آید، و گشتاورهای زاویه‌ای اوربیتی هم با هم جمع می‌شوند تا گشتاور زاویه‌ای اوربیتی کلی به دست آید. سپس این دو با استفاده از تزویج گشتاور زاویه‌ای با هم جمع می‌شوند تا گشتاور زاویه‌ای کلی به دست آید. اندازهٔ گشتاور دو قطبی اتمی برابر است با:

m_{\mathrm{Atom}} = g_J {\mu}_B \sqrt{J(J+1)}\ ,

که در آن J عدد کوانتومی گشتاور زاویه‌ای کلی، gJ فاکتور لژاندر، و μB پارامتری به نام «مگنتون بور» است. مولفهٔ گشتاور مغناطیسی در جهت میدان مغناطیسی برابر است با:

m_{\mathrm{Atom}}(z) = -m g_J {\mu}_B \ ,

که در آن m عدد کوانتومی مغناطیسی یا «عدد کوانتومی استوایی» نامیده می‌شود و می‌تواند یک از ۲J+۱ مقدار –J، )، ...، (J-۱)، و J را داشته باشد. علامت منفی، از بار منفی الکترون ناشی می‌شود. به دلیل گشتاور زاویه‌ای، دینامیک دو قطبی مغناطیسی در یک میدان مغناطیسی نسبت به دینامیک دو قطبی الکتریکی در میدان الکتریکی متفاوت است. میدان مغناطیسی گشتاوری به دو قطبی مغناطیسی اعمال می‌کند که تمایل دارد دو قطبی را با میدان هم‌خط کند. اما گشتاور با نرخ تغییر گشتاور زاویه‌ای متناسب است و در نتیجه، «حرکت تقدیمی» رخ می‌دهد: جهت اسپین تغییر می‌کند. این رفتار با معادلهٔ «لاندو- لیف شیتز- گیلبرت» بیان می‌شود:

\frac{1}{\gamma} \frac{d \mathbf{m}}{dt} = \mathbf{m \times H_{eff}} -\frac{\lambda}{\gamma m}\mathbf{m \times }\frac{d\mathbf{m}}{dt} \ ,

در این رابطه، γ نسبت ژیرومغناطیسی، m گشتاور مغناطیسی، λ نسبت میرایی، و Heff میدان مغناطیسی مؤثر (میدان خارجی به علاوهٔ هر میدان خود به خودی) بوده و «×» علامت ضرب خارجی برداری است. جملهٔ نخست بیان‌گر حرکت تقدیمی گشتاور حول میدان مؤثر بوده و جملهٔ دوم یک عبارت میرایی است که به تلفات انرژی ناشی از تعامل با محیط اطراف مربوط است.

گشتاور مغناطیسی الکترون‌ها

الکترون‌ها و بسیاری از ذرات پایه‌ای دارای گشتاورهای مغناطیسی ذاتی هم هستند. توصیف این گشتاورها نیازمند رهیافتی بر اساس مکانیک کوانتومی بوده و با گشتاور زاویه‌ای ذاتی ذرات رابطه دارد. این گشتاورهای مغناطیسی ذاتی هستند که اثرات ماکروسکوپیکی مغناطیسی، و سایر پدیده‌ها مانند رزونانس پارامغناطیسی الکترون، را تولید می‌کنند. گشتاور مغناطیسی الکترون برابر است با:

 \boldsymbol{\mu}_S=-g_S \mu_B (\boldsymbol{S}/\hbar)

در رابطهٔ بالا، μB مگنتون بور، S اسپین الکترون بوده و فاکتور g الکترون برابر است با: gs=۲ در مکانیک دیراکی، اما اندکی بزرگ تر است، gs=۲٫۰۰۲۳۱۹۳۰۴۳۶ در واقعیت، به دلیل اثرات کوانتومی الکترو دینامیکی

دوباره مهم است که توجه شود که μ ثابتی منفی است که در اسپین ضرب می‌شود، پس گشتاور مغناطیسی هم راستا با اسپین بوده، ولی در جهت مخالف آن است. این امر را می‌توان با این تصویر کلاسیک درک کرد: اگر تصور کنیم که گشتاور زاویه‌ای ناشی از اسپین بر اثر اسپین جرم الکترون حول یک محور ایجاد شود، به دلیل بار منفی الکترون، جریان الکتریکی که این دوران ایجاد می‌کند در جهتی مخالف جاری می‌شود؛ این حلقه‌های جریان، گشتاوری مغناطیسی ایجاد می‌کنند که در راستای اسپین و در جهت مخالف آن است. پس یک پوزیترون ( ذره‌ای مشابه الکترون ولی با بار مثبت) دارای گشتاوری مغناطیسی است که با اسپین موازی است.

گشتاورهای مغناطیسی هسته

سیستم هسته‌ای، یک سیستم فیزیکی پیچیده‌است که متشکل از نوکلئون‌ها، یعنی الکترون‌ها و پروتون‌ها است. از جملهٔ ویژگی‌های مکانیک کوانتومی نوکلئون‌ها، اسپین است. از آنجا که گشتاور الکترومغناطیسی هسته به اسپین نوکلئون‌ها بستگی دارد، می‌توان با اندازه‌گیری گشتاورهای هسته‌ای، و به طور دقیق‌تر، گشتاور دو قطبی مغناطیسی هسته، به دیدی از این ویژگی‌ها دست پیدا کرد. معمول‌ترین هسته‌ها در «وضعیت زمین» خود دیده می‌شوند، اگر چه هسته‌های برخی از ایزوتوپ‌ها دارای حالت‌های بر انگیختهٔ با عمر بالا هستند. هر وضعیت انرژی هسته یک ایزوتوپ خاص با یک گشتاور دو قطبی مغناطیسی تعریف شده مشخص می‌شود. اندازهٔ این گشتاور عددی ثابت است که اغلب به صورت تجربی تا دقت بالایی قابل اندازه‌گیری است. این عدد به شدت به سهم هر یک از نوکلئون‌ها حساس بوده و اندازه‌گیری یا پیش‌بینی مقدار آن می‌تواند اطلاعات مهمی را دربارهٔ محتوای تابع موج هسته‌ای آشکار کند. برای پیش‌بینی مقدار گشتاور دو قطبی مغناطیسی، چند مدل تئوریک و چند روش تجربی وجود دارند که هدف آنها انجام اندازه‌گیری‌ها در هسته به همراه نمودار هسته‌ای است.

گشتاورهای مغناطیسی مولکول‌ها

هر مولکول دارای اندازهٔ تعریف شده‌ای برای گشتاور مغناطیسی است که به وضعیت انرژی مولکول بستگی دارد. معمولاً گشتاور مغناطیسی کلی یک مولکول ترکیبی از این مؤلفه‌ها است که به ترتیب قدرت آنها آورده شده‌اند: • گشتاورهای مغناطیسی ناشی از اسپین الکترون‌ها (مؤلفهٔ پارامغناطیسی)، در صورت وجود. • حرکت اوربیتی الکترون‌ها، که در آن وضعیت زمین معمولاً با میدان مغناطیسی خارجی متناسب است (مؤلفهٔ دیامغناطیسی). • گشتاور مغناطیسی ترکیبی اسپین‌های هسته‌ای، که به پیکربندی اسپین هسته‌ای بستگی دارد.

نمونه‌هایی از مغناطیس مولکولی

• مولکول اکسیژن، O۲، به دلیل اسپین دو الکترون بیرونی خود، خاصیت پارامغناطیسی شدیدی از خود نشان می‌دهد. • مولکول دی اکسید کربن، CO۲، بیشتر خاصیت دیامغناطیسی، یک گشتاور مغناطیسی بسیار ضعیف‌تر ناشی از حرکت اوربیتی الکترون‌ها که با میدان مغناطیسی خارجی متناسب است، از خود نشان می‌دهد. در مورد نادری که یک ایزوتوپ مغناطیسی، مانند ۱۳C یا ۱۷O، موجود باشد، مغناطیس هسته‌ای آن در گشتاور مغناطیسی مولکول ظاهر می‌شود. • مولکول هیدروژن، H۲، در یک میدان مغناطیسی ضعیف ( و یا عدم وجود میدان مغناطیسی) از خود مغناطیس هسته‌ای نشان می‌دهد، و میتواند از نظر پیکربندی اسپین هسته‌ای، در حالت para- یا ortho- باشد. • مولکول اکسیژن، O۲، به دلیل اسپین دو الکترون بیرونی خود، خاصیت پارامغناطیسی شدیدی از خود نشان می‌دهد. • مولکول دی اکسید کربن، CO۲، بیشتر خاصیت دیامغناطیسی، یک گشتاور مغناطیسی بسیار ضعیف‌تر ناشی از حرکت اوربیتی الکترون‌ها که با میدان مغناطیسی خارجی متناسب است، از خود نشان می‌دهد. در مورد نادری که یک ایزوتوپ مغناطیسی، مانند ۱۳C یا ۱۷O، موجود باشد، مغناطیس هسته‌ای آن در گشتاور مغناطیسی مولکول ظاهر می‌شود. • مولکول هیدروژن، H۲، در یک میدان مغناطیسی ضعیف ( و یا عدم وجود میدان مغناطیسی) از خود مغناطیس هسته‌ای نشان می‌دهد، و میتواند از نظر پیکربندی اسپین هسته‌ای، در حالت para- یا ortho- باشد.

فرمول‌های محاسبه و مقادیر گشتاورهای مغناطیسی

حلقهٔ صفحه‌ای در ساده‌ترین حالت، مربوط به یک حلقهٔ صفحه‌ای حامل جریان الکتریکی، گشتاور مغناطیسی به این صورت تعریف می‌شود:

\boldsymbol{\mu}=I \mathbf{a}

که در آن μ گشتاور مغناطیسی بوده، که بر حسب آمپر در متر مربع، یا به شیوهٔ معادل، ژول بر تسلا، بیان می‌شود، a مساحت برداری حلقهٔ جریان است، که بر حسب متر مربع بیان می‌شود (مولفه‌های x، y و z این بردار، به ترتیب برابر مساحت‌های تصاویر حلقه بر روی صفحات yz، zx و xy هستند)، و I جریان حلقه ( که ثابت فرض شده‌است)، یک اسکالر بیان شده بر حسب آمپر، است. به صورت توافقی، جهت مساحت بردار با قانون دست راست تعیین می‌شود (با خم کردن انگشتان دست راست در جهت جریان حلقه، هنگامی که کف دست لبهٔ خارجی حلقه را لمس می‌کند، جهت انگشت شست جهت مساحت بردار، و در نتیجه جهت گشتاور مغناطیسی، را نشان می‌دهد). حلقهٔ بستهٔ دلخواه در مورد یک حلقهٔ بستهٔ دلخواه حامل جریان ثابت I، گشتاور با این رابطه به دست می‌آید:

\boldsymbol{\mu}=I\int d \mathbf{a}

در این رابطه، da دیفرانسیل مساحت بردار حلقهٔ جریان است.

توزیع دلخواه جریان

در کلی‌ترین حالت، مربوط به یک توزیع دلخواه جریان در فضا، گشتاور مغناطیسی این توزیع را می‌توان با استفاده از این رابطه به دست آورد:

\boldsymbol{\mu}=\frac{1}{2}\int\mathbf{r}\times\mathbf{J}\,dV

در این رابطه،:dV = r^2 \sin \theta \,dr\, d \theta\,d\phi , \mathbf{r} دیفرانسیل حجم، r بردار موقعیت که از مبدأ به مکان دیفرانسیل حجم اشاره می‌کند، و J بردار چگالی جریان در آن نقطه‌است. از رابطه بالا می‌توان برای محاسبهٔ گشتاور مغناطیسی هر مجموعه‌ای از بارهای در حال حرکت، مثلاً یک جسم جامد باردار در حال اسپین، استفاده کرد. برای این کار باید جایگذاری J=ρv انجام شود که در آن، ρ چگالی بار الکتریکی در یک نقطهٔ دلخواه بوده و v سرعت خطی لحظه‌ای آن نقطه‌است. برای نمونه، گشتاور مغناطیسی تولیدی به وسیلهٔ یک بار الکتریکی که در یک مسیر دایره‌ای در حال حرکت است برابر است با:

 \boldsymbol{\mu}=\frac{1}{2}\, q\, \mathbf{r}\times\mathbf{v},

که در آن r موقعیت بار q نسبت به مرکز دایره و v سرعت لحظه‌ای بار است. برای یک بار نقطه‌ای که به صورت آزادانه در یک میدان مغناطیسی خارجی در حال حرکت است گشتاور مغناطیسی معیاری است از شار مغناطیسی تولید شده به وسیلهٔ ژیراسیون بار در میدان مغناطیسی. گشتاور در خلاف جهت میدان مغناطیسی است (یعنی دیامغناطیسی است) و اندازهٔ آن برابر انرژی جنبشی حرکت دورانی تقسیم بر میدان مغناطیسی است. برای یک جسم جامد باردار در حال اسپین که نسبت چگالی بار به چگالی جرمی برای آن ثابت است، نسبت گشتاور مغناطیسی به گشتاور زاویه‌ای، که به عنوان نسبت ژیرو مغناطیسی هم شناخته می‌شود، برابر نصف نسبت بار به جرم است. این نشان می‌دهد که یک مجموعهٔ دارای جرم بیشتر از بارهایی که با گشتاور زاویه‌ای یکسانی اسپین دارند، نسبت به همتای سبک‌تر خود گشتاور مغناطیسی ضعیف‌تری خواهند داشت. اگر چه ذرات اتمی را نمی‌توان به صورت دقیق به صورت توزیع‌های بار در حال اسپین و دارای نسبت بار به جرم یکسان در نظر گرفت، این روند عمومی گه‌گاه در دنیای اتمی، که گشتاورهای زاویه‌ای ذاتی ذرات، نسبتاً ثابت‌اند، قابل مشاهده‌است: یک «نیم-رقم» کوچک (اسپین) ضرب در ثابت کاهش یافتهٔ پلانک (h). این پایه‌ای است برای تعریف واحدهای «مگنتون بور» (با فرض نسبت بار به جرم الکترون) و «مگنتون هسته‌ای» (با فرض نسبت بار به جرم پروتون) برای گشتاور مغناطیسی.


 

+ نوشته شده در  چهارشنبه دهم آذر 1389ساعت 20:56  توسط مائده السادات طباطبایی نژاد  | 


«حالت کلی»

در حالت کلی برای یک توزیع پیوسته بارها که در یک حجم Vتوزیع شده‌اند گشتاور دو قطبی چنین تعریف می‌شود

\boldsymbol{p}(\boldsymbol{r}) = \int_{V} \rho(\boldsymbol{r_0})\, (\boldsymbol{r_0}-\boldsymbol{r}) \ d^3 \boldsymbol{r_0},

در حالی که r فاصله از مکان مشاهده و ۳r۰ بر یک حجم ابتدایی r دلالت می‌کند برای باریکه‌ای از چگالی بار حاصل جمع تابع دلتای دیراک است.

 \rho (\boldsymbol{r}) = \sum_{i=1}^N \, q_i \, \delta (\mathbf{r} -  \mathbf{r}_i) \ ,

+ نوشته شده در  چهارشنبه دهم آذر 1389ساعت 20:50  توسط مائده السادات طباطبایی نژاد  |